Relógio de sol Polar Ciclóide

Relógio de sol Polar Ciclóide: uma variação do relógio de sol polar padrão, em que o gnômon tem uma forma ciclóide, resultando em linhas horárias igualmente espaçadas.

Polar Sundial: é um relógio de sol em que a placa do mostrador é definida ao longo da direção Leste-Oeste e inclina-se de modo a ficar paralela com o Eixo Polar. O gnômon de ponteiro-polar padrão é, assim, também paralelo à placa do mostrador.

Latitude: é a posição angular ao Norte ou ao Sul do Equador. Valores positivos para o Hemisfério Norte, negativos para o Hemisfério Sul.

Altura do Estilo / Ângulo do Estilo (hE): de um estilo polar é o ângulo que este faz com a linha do sub-estilo.

(Linha) do Sub-Stilo: a linha que se encontra no plano do mostrador que está perpendicularmente abaixo (ou atrás, para um mostrador vertical) do estilo.

Linha Horária: uma linha, em uma placa do mostrador, indicando a posição da sombra em um determinado momento (inclui frações de minutos, bem como horas cheias).

Ângulo Horário (h, AH): o ângulo correspondente à posição do Sol em torno de sua órbita diária (aparente). Medido para o Oeste, a partir do meio-dia local, ele aumenta a uma taxa de 15° por hora. Assim, 15:00 h (Tempo Aparente Local) é de 45° e 9 horas é -45°.

Antes que possamos projetar um relógio de sol Polar Ciclóide, seria bom saber exatamente o que é uma ciclóide e como desenhar um; de acordo com Webster.

Ciclóide: a curva descrita por um ponto na circunferência de um círculo que rola, sem deslizar, ao longo de uma linha reta em um único plano. A Figura 1 ilustra uma ciclóide e como ela é criada. A figura é de uma ciclóide com seu vértice na origem O, que é o tipo do interesse para este mostrador em particular. Basta imaginar o círculo rolando na linha tracejada horizontal. Um único ponto no círculo se deslocará de A para B para C e traçará a curva mostrada. Faça o mesmo na outra direção e a ciclóide estará criada.

Figura 1: Ciclóide

As equações matemáticas que descrevem as coordenadas x e y de uma ciclóide são como as seguintes:

x = r ( ø + sin ø)

y = r (1 - cos ø)

onde r é o raio do círculo e ø é o ângulo de rotação do círculo, que varia de -180° a 180°, e ø pode ser expresso em radianos quando:

ø em radianos = (ø em graus/180) *

A partir da Figura 1 pode-se ver que a altura da ciclóide varia de 0 a 2r ou o diâmetro do círculo. O comprimento L da ciclóide é 2r ou a circunferência do círculo.�
Essas informações são úteis para determinar o tamanho do relógio de sol a ser projetado.

O relógio de sol Polar Ciclóide é universal e pode ser usado em qualquer latitude. As linhas horárias são paralelas entre si e são simétricas em relação à linha central que representa tanto 6:00 horas da manhã, como 6:00 horas da tarde. O gnômon, que toma a forma de uma ciclóide, é posicionado perpendicular a esta linha. A placa do mostrador fica paralela ao Eixo Polar da Terra, isto é, é inclinada para um ângulo igual à latitude onde estiver localizado. Isto é o mesmo para um relógio Polar. As linhas horárias, nas extremidades distantes da placa do mostrador, representam o meio-dia. O que é único neste mostrador é que as linhas horárias estão igualmente espaçadas. A Figura 2 tenta ilustrar por que isso ocorre.

Figura 2: Linhas Horárias de um Mostrador Polar Ciclóide

Como a placa do mostrador está paralela ao Eixo Polar da Terra, o plano horário aumenta, em relação à placa do mostrador, em 15° por hora. O que é único sobre a forma de ciclóide do estilo é que o plano horário é tangente a apenas um ponto nesta superfície, em um dado momento. Isto pode ser visto pelas linhas ilustradas na Figura 2. Quando estes planos são estendidos para a superfície da placa do mostrador, para estabelecer as linhas horárias, também pode ser visto que estas linhas estão separadas por uma igual distância .

As linhas horárias na placa do mostrador podem ser dispostas para representar os ângulos horários na faixa de ± 90°. Os ângulos horários negativos são horas da manhã e os positivos são da tarde.
A distância para cada uma das linhas horárias, a partir do centro da placa do mostrador, pode ser calculada como se segue:

X = r (h / 90 ± 1)

onde h é o ângulo horário, em graus, dado por:

h = (T₂₄ - 12) * 15°

e T₂₄ é o tempo em notação de 24 horas do relógio convencional (horas depois da meia-noite), em horas decimais.

Note que 1 é adicionado para as horas da manhã e subtraído para as horas da tarde. Isto resulta em X, variando de 0 a r de manhã e de -r a 0 de tarde.

Também é possível calcular as coordenadas x e y da ciclóide com base no ângulo horário h. As Figuras 1 e 2 mostram que, quando transcorre um período de 1 hora e o ângulo horário, estiver alterado em 15°, o círculo terá girado num ângulo de 30°, ou seja, ø = 2h ± 180°, onde 180° é para as horas matutinas e -180° é para as horas vespertinas. Observe que os ângulos horários passam pela faixa de ± 90°, enquanto o círculo gira em torno da faixa de ± 180°. As equações podem agora ser escritas como segue:

Observe que 1 é adicionado para as horas matutinas e substraído das vespertinas. Isto resulta em X variando de 0 de manhã e 0 à tarde.

x = r {(h / 90 ± 1) - sin 2h}

y = r (1 + cos 2h)

O único fator que vai mudar a ciclóide é a variável r e este é apenas um fator de escala. Quando um mostrador é desenhado, então, todos os outros mostradores podem ser obtidos, por escala, da ciclóide e a placa do mostrador. A Figura 3 ilustra o modelo de marcação concluído com intervalos de 5 minutos. Clique aqui para baixar um arquivo PDF do modelo. Este modelo pode ser impresso em qualquer escala. O gnômon também pode ser modificado para torná-lo visualmente mais interessante, desde que a curva ciclóide não seja alterada. Clique aqui para visualizar o arquivo DXF do modelo.

O modelo de ciclóide foi construído usando movimentos de 1/4° do círculo, girando para calcular as coordenadas x e y. Isso é cerca de 1.444 conjuntos acima de 360°.

Clique aqui para baixar uma planilha que calculará automaticamente a ciclóide para um movimento tão pequeno do círculo quanto você desejar. N. do T. não funciona em versões mais atuais, sem conversor de VBA.

Você vai acabar com uma série de números e você, então, terá que fazer algo com eles. Isto é o que eu fiz para obter um desenho da ciclóide, usando o aplicativo de CAD. Movi as duas colunas de números para as coordenadas x e y para uma nova planilha e salvei esta folha como um arquivo delimitado por vírgulas, um *.csv neste caso. Em seguida, abri este arquivo em um editor de texto e verifiquei que havia uma coluna de dois números separados por vírgulas, com um return, após cada conjunto de números.

Copiei tudo na área de transferência. Comecei um novo desenho no pacote CAD e iniciei o comando de desenho line. Existe uma linha de comando disponível onde eu posso digitar um conjunto de coordenadas x e y para o primeiro ponto da linha. Em seguida, selecione Enter e sou remetido para o próximo conjunto de coordenadas e assim por diante. Eu colei a coluna inteira de coordenadas nesta linha de comando e o aplicativo de CAD tratou isso como uma série de segmentos de linha, e as desenhou.

Converti, então, todas estas linhas em uma linha múltipla que, em seguida, permitiu-me fazer um ajuste de curva de todos os pquenos segmentos de linha reta. Se seu aplicativo de CAD tiver uma linha de comando para inserir coordenadas para desenhar uma linha, esse procedimento pode funcionar.

Figura 3: Modelo de Relógio de sol Polar Ciclóide

O gnômon ciclóide só contata a placa do mostrador em um ponto e assim poderia ser difícil de prender. O mostrador pode ser dividido no centro e uma seção inserida para facilitar sua fixação. O gnômon também pode ter qualquer espessura. Um gnômon largo fornecerá uma sombra de linha reta no ponto em que o tempo é indicado. A Figura 4 ilustra um mostrador dividido.

Figura 4: Relógio de sol Polar Ciclóide Dividido

As linhas horárias para este mostrador podem ser corrigidas pela longitude.

Imagem ampliada, com sombra projetada, clique aqui.

O gnômon ciclóide alinha-se no plano equatorial e é um lugar
perfeito para incluir um relógio de sol equatorial.

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